換算質量
- 2015/09/20
- 09:17
9/5「2原子分子の振動運動」のところで，片方の原子を固定して考えたとき，最後に出てきた式⑤で質量mは換算質量μで置き換えていいと言っただけで証明はしていなかった．それを証明しておこう．
2つの質点P1，P2の質量をm1，m2，それらの加速度をベクトルA1，A2，P2がP1に及ぼす力をベクトルFとすれば，作用反作用の法則により，運動方程式は
m1A1 = F m2A2 = - F ①
となる．それぞれにm2，m1を掛けて，辺々引き算をすれば
m1m2（A1 - A2）= （m1 + m2）F ②
が得られる．P2を原点とする座標系（回転はしない）に対するP1の加速度AはA = A1 - A2となるので，式②は
m1m2A = （m1 + m2）F → {m1m2/（m1 + m2）}A = F ③
となる．
つまり，P1のP2に対する運動は，P2を不動の力の中心としたとき，質量m1m2/（m1 + m2）なる質量の質点が行う運動に等しいことが分かった．その質量を換算質量と呼び，μとおけば
μ = m1m2/（m1 + m2） ④
となり，辺々の逆数をとると
1/μ = 1/m1 + 1/m2 ⑤
という簡単な関係になることがわかる．
2原子分子の運動を扱うとき，片方の原子を固定して考えるとき，動く質点の質量mを最後にμで置き換えてよいことが示されたのである．
2つの質点P1，P2の質量をm1，m2，それらの加速度をベクトルA1，A2，P2がP1に及ぼす力をベクトルFとすれば，作用反作用の法則により，運動方程式は
m1A1 = F m2A2 = - F ①
となる．それぞれにm2，m1を掛けて，辺々引き算をすれば
m1m2（A1 - A2）= （m1 + m2）F ②
が得られる．P2を原点とする座標系（回転はしない）に対するP1の加速度AはA = A1 - A2となるので，式②は
m1m2A = （m1 + m2）F → {m1m2/（m1 + m2）}A = F ③
となる．
つまり，P1のP2に対する運動は，P2を不動の力の中心としたとき，質量m1m2/（m1 + m2）なる質量の質点が行う運動に等しいことが分かった．その質量を換算質量と呼び，μとおけば
μ = m1m2/（m1 + m2） ④
となり，辺々の逆数をとると
1/μ = 1/m1 + 1/m2 ⑤
という簡単な関係になることがわかる．
2原子分子の運動を扱うとき，片方の原子を固定して考えるとき，動く質点の質量mを最後にμで置き換えてよいことが示されたのである．
追記： 本文とは関係ないが，昨夕，春に神宮球場へ一緒に行った後輩から「緊急連絡 東大またも法政に勝つ」とメイルが来た．湘南高校出身の左腕・宮台君が初勝利を上げたらしい．おめでとう．抑えの柴田君も好投．よかった．
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